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Álgebra A 62

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ÁLGEBRA A 62 UBA XXI
CÁTEDRA ESCAYOLA

Unidad 5

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7. Analizar cada uno de los siguientes sistemas determinando, en cada caso, los valores de $k$ (si existen) que hacen que el sistema resulte compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.
f) $\left\{\begin{aligned}x+ky+2z-w&=k+2\\ x+ky-2z&=2\\ -4z+k^{2}w&=-3k-2\end{aligned}\right.$

Respuesta

En este caso la matriz ampliada asociada al sistema es esta: $\begin{pmatrix} 1 & k & 2 & -1 & | & k+2 \\ 1 & k & -2 & 0 & | & 2 \\ 0 & 0 & -4 & k^2 & | & -3k-2 \end{pmatrix}$ $F_2 - F_1 \Rightarrow F_2$ $\begin{pmatrix} 1 & k & 2 & -1 & | & k+2 \\ 0 & 0 & -4 & 1 & | & -k \\ 0 & 0 & -4 & k^2 & | & -3k-2 \end{pmatrix}$ $F_3 - F_2 \Rightarrow F_3$ $\begin{pmatrix} 1 & k & 2 & -1 & | & k+2 \\ 0 & 0 & -4 & 1 & | & -k \\ 0 & 0 & 0 & k^2-1 & | & -2k-2 \end{pmatrix}$

Ahora, atenti acá 👉 A diferencia de lo que nos vino pasando en los ítems anteriores, donde nos quedaba una matriz cuadrada e identificábamos la diagonal, este sistema tiene tres ecuaciones con cuatro incógnitas, jamás va a poder ser un SCD. Por lo tanto, sólo puede ser un SCI o un SI. 

Para darnos cuenta de esto, quiero que mires fijo y con muuuucho cariño esta matriz... y de paso, te acuerdes "qué pinta" tendría si el sistema fuera incompatible...

...lo tenés?

Nos quedaría en la última fila algo del estilo $0 =$ Algún número distinto de cero. 

En este caso, 

-> $k^2-1$ es cero si $k = 1$ y $k = -1$

-> $-2k-2$ es cero si $k = -1$

Entonces, este sistema va a ser incompatible, si $k^2-1$ es cero, pero $-2k-2$ no. Eso ocurre si $k = 1$. Para cualquier otro valor de $k$ te va a quedar algo típico de un SCI. 

Recapitulando...

-> Es un SI si $k = 1$. -> Es un SCI si $k \neq 1$ 
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Avatar Alexia hace 5 días
Hola Flor! se me complicó al final con este ejercicio para dar la respuesta. entiendo que planteando los casos si k=-1 queda SCI y si k =1 queda SI, ahora como sabemos que en el resto de los reales distintos de 1 también es SCI? estoy un poco mareada quizás es obvio pero no lo estoy pudiendo ver y la lógica es un poco inversa de lo que veníamos haciendo, es decir ahora no son los casos particulares las incógnitas sino que tenemos que pasa en algunos valores particulares y buscamos que pasa fuera de esos valores. Desde ya gracias!
Avatar Flor Profesor hace 4 días
@Alexia Hola Ale! Fijate que nosotras llegamos a que es un SI si $k = 1$ y es un SCI para cualquier $k$ distinto de 1 $(k \neq 1)$, asi que ahi ya barrimos todos las posibilidades de los reales, para cualquier real va a ser un SCI (va a tener infinitas soluciones) excepto únicamente si k = 1, que ahi no tiene ninguna solución 
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